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| a^(a+1) - (a+1)^a | =1

發問:

求 | a^(a+1) - (a+1)^a | =1的全部正整數解. 更新: 致回答者:邊位都好 謝謝回答!我有一處疑問是關於證明了n^(n+1)-(n+1)^n>0 for n greater than 2之後 When n=1, n=2的解是a=1 or 2. 那麼n>2的a是如何好像沒有分析到?還是可以如何看出來的?

最佳解答:

For all n>0,(n+1)/(n+2)-n/(n+1)=[(n+1)^2-n(n+2)]/[(n+1)(n+2)]=1/[(n+1)(n+2)]>0∴ (n+1)/(n+2)>n/(n+1) for all n>0 ?? (*) P(n):n^(n+1)/(n+1)^n>1 for all integers n>2When n=3,LHS=3^4 / 4^3=81/64>1=RHS∴ P(3) is true.Assume P(k) is true, ie.k^(k+1)/(k+1)^k>1When n=k+1LHS=(k+1)^(k+2)/(k+2)^(k+1)=(k+1)*(k+1)^(k+1)/(k+2)^(k+1)=(k+1)*[(k+1)/(k+2)]^(k+1)>(k+1)*[k/(k+1)]^(k+1) ?? (from (*))=k^(k+1)/(k+1)^k>1So, n=k+1 is also true.According to MI, P(n) is true for all integer greater than 2. It can be deducted thatn^(n+1)/(n+1)^n>1==> n^(n+1)>(n+1)^n==> n^(n+1)-(n+1)^n>0 for n greater than 2So, it is not true for n=1 or 2.When n=1,1^2-2^1=1-2=-1,When n=2,2^3-3^2=8-9=-1.So, if | a^(a+1)-(a+1)^a |=1 and a is a positive integer,then a=1 or 2. 2014-10-22 09:38:19 補充: P(n) 已經指出 當 n 大於 2 時,n^(n+1)/(n+1)^n 的比例大於1, 即 當 n 大於 2 時,n^(n+1)-(n+1)^n 永遠大於1。 所以對於你這條題目,是無需考慮 n>2 的。 2014-10-22 12:32:45 補充: 對不起,是 當 n 大於 2 時,n^(n+1)-(n+1)^n 永遠大於 0。 而當 n 大於 2 時,n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。 2014-10-22 20:17:17 補充: P(n) 不是利用咗 (*) 來證明了嗎? 2014-10-22 23:56:36 補充: LHS =(k+1)^(k+2)/(k+2)^(k+1) =(k+1)*(k+1)^(k+1)/(k+2)^(k+1) =(k+1)*[(k+1)/(k+2)]^(k+1) >(k+1)*[k/(k+1)]^(k+1) ?? (from (*)) =k^(k+1)/(k+1)^k >1 所以 n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。

其他解答:

謝謝 自由自在 知識長的提點,2n不是質數,此路不通。 若有其他正解,我會刪走我的。 (a 是奇數的解說也是有問題的。)|||||少年時的回答我有以下問題: (1) (2n)^(2n+1)=(2n+1)^(2n)+1 (無正整數解):這個如何證明? (2) 假設 (2n+1)^n+1=(2n)^p 及 (2n+1)^n-1=(2n)^q:因2n不是質數,這個設法只是其中一個可能性,少年時你沒有再分析其他的可能性! (3) (2n-1)^(2n)=(2n)^(2n-1)+1 (無正整數解):這個如何證明? (4)(2n-1)^(2n)=(2n)^(2n-1)-1=> (2n-1)^(2n)=(2n-1)[(2n-1)^(2n-2)+(2n-1)^(2n-3)+??+1] :這個好像算錯了! 2014-10-20 15:08:13 補充: (5)==> 2n-1=0 ==> n=1所以 a=1:這個也是算錯吧? 2014-10-22 11:35:35 補充: 邊位都好: 比如說 999/998 > 1,但我們不能說999 - 998 >1 2014-10-22 16:58:59 補充: 而當 n 大於 2 時,n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。 這句話應該是對的,但如何證明呢? 2014-10-22 21:03:14 補充: 我是問如何證明n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。 2014-10-23 21:29:50 補充: Suppose a^(a+1)-(a+1)^a=1 for a>2 a^(a+1) - (1 + C(a,1) a+C(a,2) a^2+?+a^a)=1 Take modulo a^2,0-(1+a^2+0+0+?) ≡ 1(mod a^2) -1≡1 (mod a^2 ) contradiction Hence a^(a+1)-(a+1)^a≠1|||||又係 a = 2???
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